В треугольнике ABC <A = 120 °, <B = 30 °. Найдите соотношение его стен AC: BC​

Проведём ВМ║АD. Четырехугольник АВМD- параллелограмм ( стороны попарно параллельны) 

DM=AB=18 см

В ∆ ВМС ∠ВМС=∠АDМ. 

МС=DC-DM=27-18=9

По т.косинусов  -cos угла ВМС=[ВС*- (ВМ*+МС*)]/2BM•BC⇒

cos ∠BMC=18/54=1/3

Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними. 

S ABMD= AD•DM•sin ADM

sin2 α + cos2 α = 1⇒

  sin ∠ADM=√(1-1/9)=√8/3=2√2/3

S ABMD=18•3•2√2•3=36√2 см²

S∆ ABD=SABMD/2=18√2

В трапеции треугольники, образованные при пересечении диагоналей, подобны. k=DC/АВ=27/18=3/2

Тогда DB=DK+KB=5 частей  АН- общая высота треугольников АКD и АDВ .

Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. 

S ∆ ADK=3/5 S∆ADB=3•18√2/5=54√2/5=10,8√2 см²

------Примечание. Это один из вариантов решения этой задачи.  Другой дан мной 6.03 этого года. 

 Пусть M- cередина АС, N - середина АВ. Продолжим ВМ на расстояние ВМ, получим Q, продолжим CN на расстояние CN, получим Р. 
Рассмотрим четырехугольник APBC, в нем диагонали РС и АВ точкой пересечения N делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак такой), значит АР параллельна ВС (определение параллелограмма). 
Рассмотрим четырехугольник ABCQ, в нем диагонали AС и ВQ точкой пересечения M делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак такой), значит АQ параллельна ВС (определение параллелограмма). 
Итак, в точке А проведены две прямые АР и АQ, параллельные ВС. По 5 постулату Евклида (аксиома параллельности) через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной, значит, точки А, Р,  Q лежат на одной прямой