Да, без этих формул задача требует применения извилин :))) На чертеже представлены простые вычисления этих радиусов из простого подобия треугольников. Справа от высоты вычисления радиуса вписанной окружности, в левой части риснка - радиуса описанной окружноти (точнее - диаметра:)).
Для начала следует понять, что АВС составлен из двух прямоугольных треугольников АВМ и ВМС, подобных "египетскому", со сторонами 9, 12, 15. То есть высота ВМ = 12.
1. О1 - центр вписанной окружности. О1К - радиус в точку касания. Из подобия треугольников ВМС и ВКО1 следует КО1/ВО1 = МС/ВС; при этом МО1 = КО1 = r;
r/(12 - r) = 3/5; r = 9/2;
2. Чтобы вычислить диаметр описанной окружности, для начала скажем, что центр её О лежит на ВМ. Продолжим ВМ до пересечения с описанной окружностью, пусть это точка Е (то есть ВЕ и есть диаметр D = 2*R). Тогда АЕ обязательно перпендикулярно АВ, так как вписанный в окружность угол ВАЕ опирается на диаметр ВЕ. Треугольники ЕАВ и АМВ прямоугольные и имеют общий угол АВМ. Поэтому они подобны, и ВЕ/АВ = АВ/ВМ.
2*R/15 = 15/12, R = 75/8;
S=1/2 AC* h
найдём h
высота в рванобедренном трегольнике- медиана
AH=HC=9
H^2=15^2-9^2=144
H=12
S=108
P=48
r=2S/P
S=4.5
R=abc/4S
R=9
