В этом году на День святого Валентина вы хотите отправить поздравление ручной работы, созданное из геометрических фигур. Вы начинаете с прикрепления двух одинаковых белых полукругов к гипотенузе белого равнобедренного прямоугольного треугольника, стороны которого равны 32 см. Затем вы устанавливаете эту новую фигуру на прямоугольный кусок красной плотной бумаги, как показано ниже. (Пунктирная линия, символ прямого угла и отметки равных сторон не будут частью готовой карты.) Чтобы завершить создание, вы напишите личное сообщение красным цветом в белой области карты. Определите общую площадь, доступную в белой области для вашего особого валентинского настроения. мера √

Данная задача может быть представлена в двух случаях ( см рисунок)

  По первому рисунку доказательство Так как треугольник АВС равнобедренный, то медиана ВД также является биссектриссой и высотой, следовательно угол АВД=углу СВД.

 ΔВДМ=ΔBDN( по первому признаку равенства теугольников: BM=BN ( по условию); BD- общая;угол АВД=углу СВД из доказанного выше)

По второму рисунку   <MBK=<NBF как вертикальные, <KBD=<FBD, так как BD  биссектрисса равнобедренного треугольника) Сумма двух равных углов равна. Поэтому

ΔВДМ=ΔBDN( по первому признаку равенства теугольников: BM=BN ( по условию); BD- общая;<MBD=<NBD из доказанного выше)

Пусть R - радиус данной окружности.

Тогда сторона квадрата вписанного в эту окружность:

a = (2R)/√2 = R√2

Сторона правильного треугольника,вписанного в эту окружность равна  b.

Тогда высота этого тр-ка:

h = (b√3)/2

Радиус же равен ⅔ высоты:

R = ⅔h = (b√3)/3

Отсюда выражаем b:

b = R√3

По условию: b-a=2,   R(√3 - √2) = 2

Отсюда радиус данной окр-ти:

R = 2/(√3 - √2), или домножив на сопряженное знаменателю:

R = 2(√3 + √2)

Сторона правильного 6-ника описанного около этой окружности:

с = 2R*tg30⁰ = 4√3(√3 + √2)/3 = 4(3+√6)/3

Тогда периметр:

Р = 6с = 8(3+√6)

ответ: 8(3+√6) см.