На конкурс домов с альтернативными источниками энергии представлен проект в форме тетраэдра, основание которого — равносторонний треугольник, одно из боковых рёбер (на рисунке — PA) перпендикулярно основанию, а одна из боковых стен представляет собой солнечную батарею (на рисунке — грань PBC). Под каким углом к земле должен спроектировать архитектор стену с солнечной батареей, чтобы высота PK треугольника PBC была в два раза больше наибольшей высоты дома?

Выполните необходимые вычисления, ответ обоснуйте.

Если двугранные углы при основании равны. То, опустив все четыре апофемы и высоту пирамиды, найдем, что отрезки, соединяющие основание высоты пирамиды с основаниями апофем, равны по длине. Докажем это. Опустив одну апофему и проведя соответствующий отрезок, соединяющий высоту пирамиды и основание апофемы, найдем, что высота - это перпендикуляр, а апофема - это наклонная, причем эта наклонная перпендикулярна соответствующей стороне основания пирамиды, тогда по теореме обратной теореме "о трех перпендикулярах" найдем, что отрезок, соединяющий основание высоты и основание апофемы перпендикулярен стороне основания, и апофема и этот отрезок образуют линейный угол двугранного угла. Но т. к. по условию все двугранные углы равны, то равны и все отрезки, соединяющие основания высоты и апофем (это следует из равенства прямоугольных треугольников, каждый из которых составлен из высоты, апофемы и отрезка, соединяющего их основания). Что мы имеем? Т.к. указанные отрезки равны и перпендикулярны сторонам основания, то отсюда следует, что основание высоты пирамиды - это центр вписанной в основание окружности. Таким образом у нас есть две точки основания:
центр вписанной окружности (он же - основание высоты пирамиды) и точка пересечения диагоналей основания. Нужно теперь доказать, что эти точки не совпадают. По условию, основанием является равнобокая трапеция. Высота этой трапеции - это диаметр вписанной окружности, отсюда можно заключить, что центр вписанной окружности, находится на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. Для точки пересечения диагоналей этого сказать нельзя. Пусть ABCD - это данная равнобокая трапеция, являющаяся основанием данной в условии пирамиды. Причем AD - большее основание, BC - меньшее основание трапеции. Пусть т. F - точка пересечения диагоналей. Проведя диагонали трапеции AC и BD. Найдем, что треугольники AFD и CFB подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих BD и AC равны). Но коэффициент подобия этих треугольников не равен 1 (k = AD/BC, но AD>BC, поэтому AD/BC>1), то есть эти треугольники не равны, а значит неравны и их высоты, проведенные из т. F, что означает, что т. F не равноудалена от оснований трапеции, в отличии о центра вписанной в трапецию окружности. ЧТД.

Пусть дан треугольник АВС, и пряммые АВ и АС параллельны плоскости Альфа. Пряммые АВ и АС пересекаются. Через них можно провести плоскость и причем одну. Пусть плоскость которая проходит через пряммые АВ и АС - плоскость Бэта. Тогда она параллельна плоскости Альфа, так как две пересекающиеся пряммые этой плоскости параллельны плоскости Альфа.

 

Далее. Две точки В и С принадлежат плоскости Бэта (так как принадлежат пряммые АВ и АС), значит и вся пряммая ВС принадлежит плоскости Бэта. Любая пряммая плоскости Бэта паралельна плосоксти Альфа (так плоскосит параллельны), в частности пряммая ВС параллельна плоскости Альфа.

 

ответ: третья пряммая тоже паралелльна плоскости