Відрізки КО та МР перпендикулярні до прямої OP. Відомо, що точки К та М ле- жать по одну сторону від цієї прямої. Доведи, що ОМ = KP, якщо кутOKP = кутуOMP.
DA​

Можно так.
1) Середина диагонали АС прямоугольника является точкой пересечения диагоналей, а также центром симметриии прямоугольника. Значит точка О делит отрезок РК пополам, тогда в ΔСОР =ΔАОК  по двум сторонам и углу между ними (ОР=ОК, АО=ОС и углы РОС и АОК равны как вертикальные). Отсюда РС=АК, а также РСIIАК, Значит АРСК параллелогамм.
2) S(АРСК)=РС*CD, CD=√(AC²-AD²)=√(169-144)=5, PC=AK=4, S(АРСК)=4*5=20.
3) Проведем РМ II CD, РМ=5, КМ=8-4=4, РК=√(РМ²+КМ²)=√(25+16)=√41, 
4) По теореме косинусов АК²=АО²+ОК²-2АО*ОК*cos(AOK).
АК=4, АО=6,5, ОК=√41/2. 

Дано:

Четырехугольник ABCD, O - точка пересечения диагоналей,

AD || BC и AC ⊥BD,

M - середина AD, N - середина BC,

AD = 12 и BC = 7   (смотрите рисунок).

Найти:

Длина отрезка MN.

Решение:

Заметим, что O ∈ MN, так как угол MON - развернутый:

∠MON = ∠DOC + (∠DOM + ∠CON) = 90° + (∠OCB + ∠OBC) =

= 90° + 90° = 180°.

Значит, нам достаточно найти длину MO + NO.

Так как треугольник AOD прямоугольный, то медиана MO, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе,  равна половине этой гипотенузы (по свойству медианы прямоугольного треугольника):

MO = AD / 2 = 12 / 2 = 6.

Тоже самое можно сказать и о прямоугольном треугольнике BOC с медианой NO:

NO = BC / 2 = 7 / 2 = 3,5.

Значит:

MO + NO = MN = 6 + 3,5 = 9,5.

ответ:

MN = 9,5 .