На сторонах , и треугольника ABC выбраны точки P , Q и R соответственно та- ким образом, что PQ∥AC , а QR∥AB . Найдите отрезок AP , если PB = 5, AR= 8, RC = 4.

Я привожу два решения и два ответа. :)))
1) Пусть M - середина DC1. Поскольку треугольники BDC1 и DCC1 равнобедренные, то BM и CM перпендикулярны DC1. Поэтому двугранный угол между плоскостями BDC1 и DD1C1C (которая параллельна грани AA1B1B)  - это угол BMC. Так как треугольник BMC прямоугольный (BC перпендикулярно DD1C1C), то 
tg(Ф) = BC/CM = 5/(3√2/2) = 5√2/3; 
2) Если начало координат поместить в C, BC - X; DC - Y; C1C - Z; то уравнения плоскостей будут 
-x/5 - y/3 + z/3 = 1; ортогональный вектор (-1/5, -1/3, 1/3) 
- x/5 = 1;  ортогональный вектор (-1/5, 0, 0) 
косинус угла между нами равен скалярному произведению, деленному на произведение длин. 
Получается cos(Ф) = 3*√59/59; 
Вопрос :) это разные ответы или нет?

 Высота, проведённая из вершины при основании, не лежит на срединном перпендикуляре основания,  - это высота к боковой стороне треугольника  

  На произвольной прямой циркулем откладываем отрезок АС,  равный длине основания  треугольника.  По общепринятой методике строим срединный перпендикуляр этого отрезка, который пересекает его в т.О. АО=CО.  Из т.А чертим окружность, радиус которой равен заданной длине высоты АН. Основание Н высоты будет расположено на построенной окружности. Т.к.высота должна быть перпендикулярна боковой стороне треугольника, на АВ как на диаметре с центром в т.О чертим окружность. Точку её пересечения с первой окружностью обозначим Н.  Угол АНС=90°, т.к. опирается на диаметр. Проведём прямую из С через Н до пересечения со срединным перпендикуляром в т. В. Соединяем точки А и В. Искомый треугольник АВС с заданным основанием АС и высотой АН из вершины А при основании построен. В нём основание АВ– заданной длины, треугольники АОВ=ВОС по двум катетам, следовательно, АВ=СВ, отрезок АН перпендикулярен боковой стороне и равен длине заданной высоты.

     В  зависимости от длины высоты  треугольник получится остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, и высота из острого угла при основании может оказаться катетом прямоугольного треугольника или пересечётся с продолжением боковой стороны.