В кубе абсда1б1с1д1 точка M - середина B1C1, точка F- середина D1C1, точка К - середина- DC , O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Найти угол между 1) АА1 и СС1 2) А1С1 и B1D1

4. Назовём медиану, проведённую из точки B, BD.
Медианы в треугольнике делят друг друга в отношении 2 : 1, считая от вершины, то есть BO : OD = 2 : 1

Так как прямые EF и AC параллельны, то ∠BAC = ∠BEF как соответственные углы.

Рассмотрим ΔABC и ΔEBF
1) ∠B - общий
2) ∠BAC = ∠BEF - из решения
Отсюда следует, что эти треугольники подобны.
Коэффициент подобия будет равен отношению BD и BO
k = BD : BO = 3x : 2x = 3 : 2

Из подобия AC : EF = 3 : 2
15 : EF = 3 : 2
3EF = 30
EF = 10 см

ответ: 10 см

5. Найдём AB по теореме Пифагора: 
AB = √(25 + 75) = √100 = 10 см
Напротив угла в 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы.
AB = 2AC ⇒ ∠ABC = 30°

ответ: 10 см, 30°

6. sinβ = BH : BC
BH = sinβ * BC = 7sinβ
tg α = BH : AH
AH = BH : tgα  = 7sinβ : tgα

ответ: 7sinβ : tgα

Пусть этот треугольник будет АВС. 
Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 
Тогда основание и части медиан, идущие от вершин при основании, образуют треугольник  АОС со сторонами  АС=26,  АО=39:3*2 =26,  и СО= 30:3*2=20. 
По формуле Герона площадь треугольника АОС будет 240 ( проверьте).
Медианы делят треугольник на равновеликие треугольники.  Если из В провести третью медиану, то треугольник будет разделен на 6 равных по площади треугольника. 
Треугольник АОС равен 1/3 площади исходного треугольника. 
Площадь ∆ АВС равна
S=240*3=720 (ед. площади)