1)Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объём призмы АВСА1В1С1
2)Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 5.
3)Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6,
а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?
4)В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.

1) Для нахождения объема призмы АВСА1В1С1 нужно умножить площадь основания на высоту.

Площадь основания правильной треугольной призмы равна (1/4) * √3 * a^2, где a - сторона треугольника призмы. В данном случае сторона основания равна 2, поэтому площадь основания будет (1/4) * √3 * 2^2 = √3.

Объем призмы АВСА1В1С1 равен площади основания, умноженной на высоту: V = √3 * 4√3 = 12.

Ответ: объем призмы АВСА1В1С1 равен 12.

2) Для нахождения объема конуса нужно умножить площадь основания на высоту и разделить полученное значение на 3.

Объем конуса, отсекаемого плоскостью, равен 5, поэтому объем исходного конуса равен 5 * 3 = 15.

Обозначим через h высоту исходного конуса, тогда высота отсеченного конуса будет h/3 (в соответствии с условием задачи).

Площадь основания отсеченного конуса равна (1/3) * (h/3)^2 * π, где π - число пи.

Таким образом, объем исходного конуса равен объему отсеченного конуса плюс объем оставшейся части исходного конуса:

V = (1/3) * (h/3)^2 * π + (1/3) * h^2 * π

Так как объем исходного конуса равен 15, то уравнение имеет вид:

15 = (1/3) * (h/3)^2 * π + (1/3) * h^2 * π

Для решения этого уравнения требуется вводить дополнительные данные, например, радиус основания конуса.

3) Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: V = π * r^2 * h.

Объемы двух цилиндров можно сравнить, разделив второй объем на первый:

V2 / V1 = (π * r2^2 * h2) / (π * r1^2 * h1)

Сокращаем множители:

V2 / V1 = (r2^2 * h2) / (r1^2 * h1)

Подставляем значения:

V2 / V1 = (6^2 * 4) / (2^2 * 6) = (36 * 4) / (4 * 6) = 36 / 6 = 6

Ответ: объем второго цилиндра больше объема первого в 6 раз.

4) а) Чтобы доказать, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC, нужно показать, что векторы, лежащие в этих плоскостях, являются ортогональными.

Вектором AB обозначим вектор, направленный от точки A к точке B. Вектором AM обозначим вектор, направленный от точки A к точке M. Вектором AS обозначим вектор, направленный от точки A к точке S. Вектором SK обозначим вектор, направленный от точки S к точке K. Вектором CK обозначим вектор, направленный от точки C к точке K. Вектором CM обозначим вектор, направленный от точки C к точке M.

Если векторы CK и CM ортогональны плоскости ABC, то их скалярное произведение должно быть равно нулю:

CK * AB + CM * AB = 0.

Вектор AB совпадает с направлением плоскости ABC, поэтому CK * AB = 0.

Соответственно, CM * AB = 0.

Таким образом, векторы CK и CM ортогональны плоскости ABC, и, следовательно, плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Для нахождения объема пирамиды BCKM нужно умножить площадь основания на высоту и разделить полученное значение на 3.

Площадь основания пирамиды BCKM равна (1/2) * AC * CK, где AC - сторона основания пирамиды SABCD, равная 8, CK - длина отрезка CK.

Так как SK = 1 и AM = 2, то CK = AS - AK = SK + AM = 1 + 2 = 3.

Площадь основания равна (1/2) * 8 * 3 = 12.

Высота пирамиды BCKM равна SK = 1.

Объем пирамиды BCKM равен (1/3) * (12) * 1 = 4.

Ответ: объем пирамиды BCKM равен 4.