Втреугольник авс вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне аb и по одной вершине – на сторонах аc и вс. найдите площадь квадрата, если аb = 40 см, а высота, проведенная из вершины с, имеет длину 24 см.

См. рис.
Треугольники РСО и ВСА подобны по углу и равному сосотношению двух сторон (угол С общий, РС / ВС = ОС / АС, так как РО || МЕ (так как РОМЕ - квадрат)   =>   РО || АВ, а параллельные прямые PO и AB отсекают на прямых АС и ВС пропорциональные отрезки (Теорема Фалеса), то есть РС / ОС = ВР / АО = ВС / АС   =>   РС * АС = ВС * ОС)
   =>   АВ / РО = СН / СК
40 см / х см = 24 см / (24 - х) см
40 * (24 - х) = 24х
960 - 40х = 24х
64х = 960
х = 15 (см)
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
ответ: 225 кв. см