Геометрический S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°. Отсюда MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3. По теореме косинусов для тех же треугольников: AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB); AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС); СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB). Сложим эти равенства: AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)). Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9, S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4. Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.
Тригонометрический Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)). После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.
Если ВА⊥АD, то ∠А=90(по опр.перпендикуляра), и ∠В=90, так как ВА⊥ВС, так как ВС∫∫АD(по св-ву парал. прямых) ⇒ АВСD - прямоугольная трапеция( по опр.). Проведем высоту СМ. И рассмотрим получившийся четырехугольник ВАМС, это прямоугольник, так как ∠А=∠В=90, и ∠М=∠С=90(по опр. высоты) ⇒ВА=СМ=6, и ВС=АМ=6. Рассмотрим ΔСМD: СМ мы провели так, что она разделила ∠ВСD=135, на ∠МСВ=90 и ∠МСD=45. Если ∠МСD=45, а ∠СМD=90(по опр. высоты), то ∠СDM=45(по теореме о сумме ∠ в Δ) ⇒ ΔСМD - равнобедренный (по признаку) ⇒ СМ=MD=6(по опр. равноб. Δ) Найдем основание трапеции: АМ+МD 6+6=12
Найдем площадь: S= ответ:54
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
