В правильном тетраэдре все грани - равные равносторонние треугольники.
Площадь одной грани:
S₁ = a²√3/4 = 4²√3/4 = 4√3 см²
Так как К - середина DC, то АК = ВК - медианы и высоты равных треугольников DAC и DBC. Тогда
Sakd = Sbkd = 1/2 S₁ = 2√3 см² - это площади двух боковых граней пирамиды KABD.
Пусть Н - середина АВ, так как треугольник АКВ равнобедренный, то КН - его высота.
СН = DH = а√3/2 = 4√3/2 = 2√3 см как медианы и высоты равных равносторонних треугольников.
Тогда ΔDHC равнобедренный, КН - его медиана и высота:
КН⊥CD.
ΔСКН: ∠СКН = 90°, СН = 2√3 см, СК = CD/2 = 2 см, по теореме Пифагора
КН = √(CH² - CK²) = √((2√3)² - 2²) = √(12 - 4) = √8 = 2√2 см
Sabk = 1/2 AB · KH = 1/2 · 4 · 2√2 = 4√2 см²
Площадь боковой поверхности пирамиды KABD:
Sбок = Sakd + Sbkd + Sabk = 2√3 + 2√3 + 4√2 = 4(√3 + √2) см²
Объяснение:
Решение
Первый Пусть указанные стороны равны a и 2a. Тогда по теореме косинусов квадрат третьей стороны равен
a2 + 4a2 - 2a . 2a . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 3a2.
Пусть $ \alpha$ — угол данного треугольника, лежащий против стороны, равной 2a. Тогда по теореме косинусов
cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + 3a^{2} - 4a^{2}}{2a\cdot a\sqrt{3}}}$ = 0.
Следовательно, $ \alpha$ = 90o.
Второй Пусть угол между сторонами BC = a и AB = 2a треугольника ABC равен 60o. Опустим перпендикуляр AC1 из вершины A на прямую BC. Из прямоугольного треугольника ABC1 с углом 30o при вершине A находим, что
BC1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = BC.
Значит, точка C1 совпадает с точкой C. Следовательно, $ \angle$ACB = 90o.
