із точки А до прямої m проведено похилі Ab і AC та перпендикуляр АК. АВ=12√3 см, ∠АВС=60.∠САК=45. Знайти ВС

АС - більша діагональ, ВД - менша.

АС - ВД = 10см

Нехай ВД = х см, АС = 10 + х см

Діагоналі перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл.

СО = ОА = (10 + х) / 2

ВО = ОД = х/2

Розглянемо трикутника ВСО:

він прямокутний кут О = 90градусів

Застосуємо теорему Піфагора:

ВС² = ВО² + СО²

25² = ((10 + х)/2)² + (х/2)²

625 = (100 + 20х +  х²)/4  +  х²/4

625 = (100 + 20х + 2х²) / 4

625 = (2 * (х² + 10х + 50)) / 4

625 = (х² + 10х + 50) / 2

1250 = х² + 10х + 50

х² + 10х - 1200 =0

шукай по дискрімінанту

Д = 70²

х1 = 30,  х2 = -40

х2 = -40 -незадовільняє умову (довжина не може бути відємною)

Отже ВД = 30 см,   АС = 30 + 10 = 40 см

S = 1/2 * АС * ВД = 1/2 * 30 * 40 = 600 см²

Длина гипотенузы обозначаем  x см  ;
длина одного катета будет   (x -9) см ;  
длина другого  катета будет  (x-8)  см .
длина гипотенузы  должна быть больше 9 см

По теореме Пифагора :
( x-9)²+(x-8)² =x² ;
x² -2x*9 +9² + x² -2x*8 +8² = x² ;
x² - 34x +145 =0 ;
D₁ =(34/2)² -145 =17² -145 = 289 -145  =144 =12²
x₁,₂ = 17 ±12  ; 
x₁  = 17 - 12 = 5  не ответ  (длина гипотенузы  должна быть больше 9)
x ₂ =  17 + 12  =29  ( см) .

ответ :   29 см .

* * * * * * *
P.S. 
Длина одного катета будет   (x -9) см  =(29 -9) =20 см ;
длина другого  катета будет  (x-8)  =(29 -8) =21 см  ;  .
Прямоугольный треугольник со  сторонами   20; 21  и 29  .
Длины сторон  набор трех  натуральных  чисел →Пифагорова тройка.