Докажите лемму: Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника на два подобных прямоугольных прямоугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство:

1) Для треугольников ACH и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆ACH ∼∆ABC (по острому углу).

Аналогично, для треугольников CBH  и ABC угол B — общий. Следовательно, ∆CBH∼∆ABC.

2) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠B=90º-∠A, в треугольнике CHB ∠BCH=90º-∠B=90º-(90º-∠A)=∠A.

Таким образом, в треугольниках ACH и CBH ∠CAH=∠BCH. А значит, ∆ACH ∼∆CBH (по острому углу).

Что и требовалось доказать.