Используя теорему о внешнем угле треугольника, найдите внешние углы CDV

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей шести правильных треугольников со сторонами, равными радиусу этой окружности. Тогда площадь одного треугольника равна D/6. По формуле эта площадь равна (√3/4)*a², где а=R.
Следовательно, √3*R²/4=D/6  => R²=2D√3/9.
R=√(2D√3)/3
По Пифагору квадрат диагонали вписанного квадрата равен
(2R)²=2а², где а - сторона квадрата.
а=2R/√2 = R√2,  а площадь - S= а² =2R² .
Подставим найденное значение R, тогда
сторона вписанного квадрата:
а=√(2D√3/9)*√2=√(4D√3)/3.
площадь вписанного квадрата:
S=a²= 4D√3/9.

Как то-так В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник, а основание её высоты лежит в центре основания. 

Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. 

Так как плоский угол при вершине равен 60º, то грани данной пирамиды - правильные треугольники, все её ребра равны. 

Пусть ребро данной пирамиды равно а. 

Тогда диагональ основания ( квадрата АВСД) равна а√2, а ее половина а:√2.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей  её граней -четырех правильных треугольников со стороной а

Площадь правильного треугольника найдем по формуле

S=a²√3):4

Тогда площадь боковой поверхности

4S=a²√3

Рассмотрим треугольник АОМ. 

Угол АОМ=90º, АО=АС/2=а:√2

По т.Пифагора 

MO² =АМ²-AO²

16=а² -а²/2⇒

а²=32

4S=32√3 см² - площадь боковой поверхности.