В треугольнике ABC угол B=80° угол А=60° BD-биссектрисса треугольника ABC BD=9см. Найти длину отрезка DC.​

Диагонали прямоугольника точкой  пересечения делятся пополам. 
Если одна сторона х, то половина диагонали - тоже х. Сторона и две половины диагоналей образуют треугольник с равными сторонами, т.е. правильный треугольник. 
В правильном треугольнике все углы равны 180°:3= 60°. Следовательно, угол между диагоналями равен 60°, а смежный с ним 180°-60°=120°.
---------
Или ( если через х решать, и это будет дольше):
Диагональ прямоугольника делит его на 2 равных прямоугольных треугольника, в которых гипотенуза в два раза больше одного катета.
Пусть этот катет АВ=х, а противолежащий ему угол ВСА = α
Тогда гипотенуза АС=2х
Синус угла, противолежащего известному катету, равен отношению катета к гипотенузе.
sinα=х/2х=0,5
Это синус угла 30° 
Диагонали прямоугольника при пересечении  делятся пополам и со сторонами образуют равнобедренные треугольники. Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Тогда в ∆ ВОС  стороны ВО=СО, ∠ОВС=∠ОСВ=30°, и ∠ВОС=120°
Смежный с ним ∠ВОА=180°-120°=60°

Положим что ABC=2BAC , ACB=4BAC так же E,D,F середины и H,G,I основания высот соответственных сторон AC,AB,BC.  
1)Докажем что DE=GF получаем DE=BC/2 как средняя линия , но GF это медиана прямоугольного треугольника CGF значит GF=BC/2 откуда DE=GF . DF||AC значит BDF=BAC треугольник GFB равнобедренный DGF=180-2BAC следовательно DF=GF=DE.  
2) DF||AC значит и DF||AH  , EF=AB/2 так как DH медиана прямоугольного треугольника AHB то DH=AB/2 откуда EF=DH , значит четырехугольник EDFH равнобедренная трапеция ,  DE=FH  получаем с учетом первого DE=DG=GF=FH.  
3) Точки  A,I,H,B лежат на одной окружности , так  как  AHB=AIB = 90 ,  BIH=BAC как вписанный ,  CFH=180-FCH-CHF=180-6BAC, так как   HFI=BIH получаем 180-6BAC=BAC , BAC=180/7 что верно так как BAC+2BAC+4BAC=180 , BAC=180/7 , значит    IH=FH.  Как итог  DE=DG=GF=FH=HI откуда и следует ответ .