5. У гострокутному трикутнику ABC AB = 3 см, ВС = 2 см, ZA = 45°. Знайдіть кут С.
6. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см. Одна з його сторін – 6
см. Знайдіть другу сторону паралелограма.
7. Більша діагональ паралелограма дорівнює 3 см і утворює зі сторонами
кути, які дорівнюють відповідно 15° і 45°. Знайдіть більшу сторону
паралелограма.
8. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 12 см та 16 см. Знайдіть найменшу
Висоту даного трикутника.
9. З вершини тупого кута паралелограма ABCD проведені висоти завдовжки
8см. та 12см. , кут між якими дорівнює 60°. Знайдіть площу паралелограма.​

Пусть х и у - длины смежных сторон искомого прямоугольника. Обозначим d - его диагональ, p - полупериметр. Тогда x+y=p и x²+y²=d². Т.е. х и у - абсцисса и ордината точки пересечения прямой и окружности, заданных этими уравнениями. Поэтому процесс построения выглядит так:
1) Строим прямой угол с вершиной О (он задает оси декартовой системы координат).
2) Строим окружность с центром в О и радиуса d (ее уравнение x²+y²=d²).
3) На сторонах прямого угла отмечаем точки A и B на расстоянии p от точки О  и проводим прямую AB (уравнение этой прямой x+y=p. Заметим также, что ∠OAB=45°).  Пусть C - какая-нибудь точка пересечения этой прямой с окружностью.
4) Опускаем перепендикуляр CD на ОА, и перпендикуляр CE на OB. Тогда прямоугольник OECD - искомый.
Действительно, его диагональ OC равна радиусу окружности, т.е.равна d. Его полупериметр равен EC+CD=OD+DA=OA=p, т.к. CD=DA, поскольку ∠OAB=45°.

Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать

Объяснение: