Дан угол АВС =86° через точку А проведена прямая паралельна прямой ВС и пересекающая биссекстрису угла в точке М. Найдите углы треугольника АВМ и сумму его углов ​

Делается дополнительное построение, как на чертеже.
∠CFD = ∠ADF = ∠CDF (DE - биссектриса ∠ADC); поэтому ΔCFD - равнобедренный, CF = CD;
Далее, поскольку CF II AD и AE = BE; то DE = FE (миллион объяснений, от теоремы Фалеса до равенства треугольников EBF и AED)
Поэтому в равнобедренном ΔCFD CE - медиана к основанию.
То есть CE перпендикулярно DE,
В прямоугольном ΔCED EM - медиана к гипотенузе, то есть EM = CD/2 = 39/2;
Но EM - средняя линия трапеции ABCD; EM = (BC + AD)/2;
(Уже после опубликования решения автор мне заметила, что ΔEMD равнобедренный по той же самой причине, что и ΔFCD, поскольку средняя линия EM II AD, поэтому сразу можно было бы написать EM = MD = CD/2)
Отсюда AD = CD - BC = 27;
Теперь надо провести CK II AB; в ΔCKD CD = 39; CK = AB = 36; KD = AD - BC = 15; то есть получился Пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2)
Это означает просто, что трапеция ABCD - прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции.
Отсюда площадь трапеции EM*AB = 36*39/2 = 702

делит на части длиной 6 и 12 см

 

нужны дополнительные построения

продливаем отрезок DM до пересечения со стороной параллелограмма ВС. Пусть точка пересечения будет Е. Тогда треугольники АМD  и ВМЕ равны по второму признаку равенства теугольников (по стороне и прилежащим к ней углам - по условию сторона МВ равна МА,углы ЕМВ и DMA  - вертикальные,а угол МDA равен углу MEВ как вертикальные углы при параллельных прямых ЕС и АД.Следовательно, сторона АD равна стороне ЕВ,а так как в параллелограмме противолежащие стороны равны,то получаем равенство АД=ВС=ЕВ  )

Обозначим точку пересечения отрезков ДМ и АС как К. Тогда треугольники АКД и СКЕ - подобны по первому признаку подобия (по двум углам - углы АКД и  СКЕ - вертикальные,а уголы  АДК и КЕС - вертикальные   ),следовательно,если треугольники подобны,то можем записать соотношение сторон:

 

АК/CK=AD/EC,так как ЕС =ЕВ+ВС,получим

АК/CK=AD/(ЕВ+ВС)    (1)

 

Пусть сторона АД будет х, а отрезок АК будетт у,тогда запишем равенство  АД=ВС=ЕВ=х,а КС =18-у (по условию задачи).

 

Теперь запишем уравнение (1) в таком виде

 

у /(18-у) = х/2х,так как х больше ноля (длина отрезка не может быть отрицательной),то правую часть уравнения можн сократить на х.

получаем

у /(18-у) = 1/2

у=6

 

АК=6, КС =18-у=18-6=12