Трапеция ABCD задана координатами своих вершин: А ( — 1;0), B( — 1; 3), C(4; 6), D(4; 0), м — середина ВС.
1) Разложите вектор АМ по векторам AB и AD.
2) Найдите координаты точки Н пересечения прямых AC и BD.
3) Разложите вектор AH по векторам j и i
4) Найдите острый угол между прямыми AM и BD и площадь
Четырехугольника ABMD.

1) Рассмотрим сечение, проходящее через центры сфер. 

 Отрезок, соединяющий центры, перпендикулярен диаметру сечения. Точкой пересечения они делятся пополам и образуют прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Гипотенуза этого треугольника - искомый радиус. Треугольник с катетами 5 и 12 из Пифагоровых троек (прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами), следовательно, R=13 (можно решить по т.Пифагора с тем же результатом). 

           * * *

2) Центр шара, вписанного в двугранный угол, равноудален от его сторон, и, следовательно, лежит на биссекторной плоскости, т.е. на плоскости, делящей этот двугранный угол пополам. 

Искомое расстояние - диагональ  квадрата со сторонами, равными радиусу шара ( биссектриса СО его прямого угла - см. рисунок), 

СО=r:sin45°=√2

Проведем касательные, образующие угол . В точки касания проведем радиусы из центра соответствующей окружности. Теперь проведем искомое расстояние между точками касания.

Рассмотрим четырехугольник, образованный касательными и радиусами.. Из него нам нужно найти  угол . Так как два угла этого четырехугольника равны 90, то находим выражение для b: b=180-a.

Далее рассмотрим треугольник, образованный двумя r и d. По теореме косинусов находим сначала квадрат d, а потом и само d (в процессе была использована формула приведения: cos(180-a)=-cos(a) )