: У трикутнику АВС кут В = 90°. Бісектриса кута А перетинає катет ВС під кутом 74° . Знайдіть гострі кути трикутника АВС​

MN║AC, PN║AB, значит AMNP - параллелограмм, противоположные стороны равны.

MN║AC, ВС - секущая, тогда ∠BNM = ∠BCA как соответственные,
∠В - общий для ΔMBN и ΔАВС, значит
ΔMBN подобен ΔАВС по двум углам, ⇒
MN : AC = MB : AB
а)
Если х - коэффициент пропорциональности, то
PN = 2x, MN = 3x.
3x : 15 = (10 - 2x) : 10
30x = 150 - 30x
60x = 150
x = 2,5
PN = AM = 2 · 2,5 = 5 см,
MN = AP = 3 · 2,5 = 7,5 см

б)
Так как AMNP - параллелограмм, и его смежные стороны равны, то все стороны равны.
Пусть х - сторона AMNP.
Из подобия треугольников ΔMBN и ΔАВС:
MN : AC = MB : AB
x : b = (a - x) : a
ax = ab - bx
ax + bx = ab
x(a + b) = ab
x = ab / (a + b)
PN = AM = MN = AP = ab / (a+ b)

Пусть a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.

Всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 (до катета b)  и b/3 (до a) - и сразу получается соотношение.

(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2; 

(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;

Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;

r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; Обозначаем r/c = x;

x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3;

A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3); 

 

подробное исследование этой задачи можно у меня найти