Найдем стороны четырехугольника. |АВ| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²) = √(1²+2²) = √5. |CD| = √((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²) = √((-1)²+(-2)²) = √5. Итак, две противоположные стороны равны, значит четырехугольник - параллелограмм. Найдем сторону ВС: |BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²) = √(-2)²+1²) = √5. Найдем угол <ABC. Если он прямой (скалярное произведение векторов АВ и ВС равно 0), то четырехугольник АВСD- прямоугольник. Скалярное произведение АВ*ВС равно сумме произведений соответственных координат векторов:
AB{1;2} и BC{-2;1} равно -2+2 = 0. Итак, четырехугольник ABCD - прямоугольник, что и требовалось доказать. А так как АВ=ВС (определено выше), то это КВАДРАТ.
Построение в приложении
Объяснение:
Угол между двумя пересекающимися плоскостями (плоскостью АВСD и секущей плоскостью EАВF) равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения, не зависимо от выбора этой третьей плоскости. В нашем случае плоскости, перпендикулярные линии пересечения АВ - это грани АА1D1D и ВВ1С1С. Cледовательно надо построить угол ЕАD в грани АА1D1D, равный 60°. Для этого построим угол АРН, равный 30°, в этой грани.
Проведем циркулем дугу окружности с центром в точке А радиуса R, равного стороне куба, а на стороне куба AD отметим точку Н, которая делит сторону AD пополам. Проведя прямую НН1, перпендикулярную стороне AD до пересечения с дугой окружности, получим точку Р. Соединив точки А и Р, получим угол АРН, равный 30°, так как катет АН равен половине гипотенузы АР. Соответственно, угол РАН = 60° по сумме острых углов прямоугольного треугольника.
Проведя прямую АР до пересечения с ребром А1D1 в точке Е, получим прямую АЕ, по которой плоскость сечения пересекает грань АА1D1D.
Аналогично найдем точку F на ребре ВС1 грани ВВ1С1С. Или найдем эту точку, проведя через вершину В прямую, параллельную прямой АЕ, так как параллельные грани пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым.
Сечение EABF - искомое сечение.
