16/(2√3-1) см
Объяснение:
1) Медіана поділяє основу на два рівних відрізки МС=МВ=х
2) Медіана в рівнобедреному трикутнику, опущена з вершини є також висотою та бісектрисою, тому медіана АМ утворює 2 рівних прямокутних ΔАМС та ΔАМВ з ∠САМ=∠ВАМ=120/2=60°.
Розглянемо прямокутний ΔАМС.
Згідно з умовами завдання, АМ=2х-8.
Складемо рівняння, використовуючи функцію котангенсу:
ctg∠CAM=AM/CM ⇒
ctg 60°=(2х-8)/х
х=(2х-8)/ctg 60°
х=2х·√3 - 8√3
(2√3-1)х=8√3
х=8√3/(2√3-1)
Тоді за формулою сінусів:
АС=СМ÷sin∠CAM=8√3/(2√3-1)÷√3·2=16/(2√3-1) см
Плоскостью верхнего основания вписанного цилиндра мысленно рассечём эту пирамиду.
Если сечение цилиндра- квадрат, то его высота равна диаметру и равна стороне верхнего основания получившейся усечённой пирамиды: h=d=a₁
Обозначим этот параметр за Х. Сумма объёмов усечённой пирамиды и "отсечённой верхней части" равна объёму исходной пирамиды.
Тогда:
Х(64+8Х+Х²) + Х²(16-Х) = 64*16
3 3 3
64Х+8Х²+Х³+16Х²-Х³=1024
24Х²+64Х-1024=0
3Х²+8Х-128=0
Решаем квадратное уравнение (решение уж расписывать не буду), получаем:
Х₁=16/3 Х₂=-6 - не удовлетворяет условию задачи
Таким образом диаметр и высота искомого цилиндра равны:
d=h=16/3
V = Sh= πd²h = π(16/3)³ ≈ 119,1 см³
4 4
P. S. я надеюсь, ты не забудешь отметить это как лучшее решение?!.. ;))
