Довести, що через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, яка перетинає дану площину.

Внешняя точка - C, центр большой окружности - O
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn =  = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 =   12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
ответ: 12π

Объяснение:

1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3 см, 7

см и 8 см.

По формуле Герона S=√р(р-а)(р-в)(р-с).

Найдем полупериметр р=(3+7+8):2=9

р-а=9-3=6

р-в=9-7=2

р-с=9-8=1

S=√(9*6*2*1)=6√3.

3. Основа равнобедренного треугольника равна 70 см, а боковая

сторона – 37 см. Найдите радиус круга, описанного вокруг

треугольника.​

Центр -лежит вточке пересечения серединных перпендикуляров.

R=(авс)/(4S)

S=1/2*АС*ВН, ВН-высота к основанию АС.

Высота в равнобедренном треугольнике является медианой АН=35см.

ΔАВН-прямоугольный . По т. Пифагора ВН=√(37²-35²)=√(1369-1225)=√144=12(см)

S=1/2*70*12=420 (см²).

R=(авс)/(4S), R=(70*37*37)/(4*420)=1369/24=57 1/24 (см)