Две равные окружности радиуса r пересекаются. в общую часть обоих кругов вписан квадрат.найдите сторону этого квадрата, если расстояние между центрами окружностей равно r.

Центры окружностей лежат на другой окружности. Из соображений симметрии ясно, что высоты сегментов d, отсеченных сторонами квадратов, равны.
Ясно, a + 2*d = r; где а - сторона квадрата. При этом (a/2)^2 + (r - d)^2 = r^2;
d = (r - a)/2; r - d = (r + a)/2;
то есть a^2 + (r + a)^2 = 4*r^2;
2*a^2 + 2*a*r - 3*r^2 = 0; или, если обозначить x = a/r; то
2*x^2 + 2*x - 3 = 0; x = (√7 - 1)/2; (отрицательный корень отброшен)
a = r*(√7 - 1)/2;