РЕШЕНИЕ
в треугольнике
периметр P=16 см
высота h=4см
основание - a
боковая сторона - b
{ P=a+2b
{ h^2=b^2-(a/2)^2
решим систему
{ 16= a+2b
{ 4^2= b^2-(a/2)^2
после подстановки переменных
a= 6 см ; b=5 см
вершина прямоугольника разбивает боковою сторону на 2 отрезка
|с| и |b-c|=|5-c|
из подобия треугольников находим стороны прямоугольника
x=6/5*(5-c)
y=4/5*c
формула площади прямоугольника
S=xy= c*6/5(5-c)* 4/5*c=24/25*(5c-c^2)
производная дает МАКСИМУМ функции
S'=24/25*(5-2c) < приравняем к 0
24/25*(5-2c)=0 ; (5-2c)=0
с=2.5 > х=3 ; y=2
ОТВЕТ 2 ; 3 -размеры прямоугольника МАКСИМАЛЬНОЙ площади
Цент вписанно йокружности это точка перечечения биссектрисс
а в случае равнобедренного тр-ка - это точка, где биссектриса пересекает высоту. Высота равна 8, и делит равнобедренный треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза (боковая сторона исходного тр-ка) относится к катету (половине основания исходного тр-ка), как 5/3 - по свойству биссектрисы.
Поэтому эти прямоугольные треугольники подобны треугольнику со сторонами 3,4,5, то есть "египетскому". Раз высота 8, то две другие стороны 6 и 10, то есть в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 10, а основание 6*2 = 12.
