Втреугольнике авс проведена высота ан, о-центр описанной окружности. докажите, что угол оан=iугол в-угол сi. подсказка: построить точку a', симметричную точке а относительно серединного перпендикуляра к отрезку вс.

Этого построения самого по себе маловато, если продлить АН до пересечения с описанной окружностью в точке Е, и построить еще точку Е' аналогично точке А', то есть построить вписанный прямоугольник АЕЕ'А', то угол ОАН - это угол Е'АЕ, равный углу АЕ'A', который опирается на дугу АА', равную разности дуг CА' и CA (в предположении, что угол С больше угла В, что не существенно). 
Поскольку дуга СА' очевидно равна дуге ВА (точнее, сразу видно, что равны заключенные между параллельными хордами АА' и ВС дуги ВА' и АС, а отсюда уже следует равенство дуг СА' и ВА), то вписанный угол АЕ'A' равен разности углов С и В, опирающихся на соответствующие дуги. 
Всё доказано.