1. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3, а периметр треугольника Найдите площадь треугольника.​

  Для начала найдем неизвестные угол и стороны ∆ АКЕ. Сумма углов треугольника 180° => угол КАЕ=180°-(54°+60°=66°

 По т.синусов АЕ=АК•sin54°/sin60°. KE=AK•sin66°/sin60°

sin60°=0.8660;  sin54°= 0.8090;  sin66°=0.9135

AE=20•0,8090/0,8660=18,683≈18,7 см;  KE=20•0,9135/0,8660=21,097≈ 21,1 см      

 Стороны  и углы треугольника ВСD  имеют те же значения, что и соответствующие углы и стороны ∆ АКЕ, но в условии не указано, какие именно элементы двух треугольников равны. Если в ∆ ВСD сторона ВС=АК, и ∠D=∠Е, то ∠В=∠А=66°,∠С=∠К=54°,  ВС=20 см, ВD=AE≈18,7= см, CD=KE≈21,1 см

Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых <А=<А1=90°, <C=<C1 и высоты АН и А1Н1 равны.
Тогда и <B=<B1, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть <B=90-С, а <D1=90-С1.
Высоты АН и А1Н1 делят треугольники АВС и А1В1С1 на подобные.
Значит <BAH=<C, a <CAH=<B. Точно так же <B1A1H1=<C1,
a <C1A1H1=<B1. Но <C=<C1 a <B=<B1.
Значит <BAH=<B1A1H1, a <CAH=<C1A1H1.
Тогда прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано)  и прилежащему острому углу (<BAH=<B1A1H1). Значит ВН=В1Н1.
Прямоугольные треугольники АСН и А1С1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано)  и прилежащему острому углу (<СAH=<С1A1H1). Значит СН=С1Н1.
ВС=ВН+СН, В1С1=В1Н1+С1Н1. Отсюда ВС=В1С1.
Гипотенузы треугольников ВС и В1С1 равны, острые углы их тоже равны, значит треугольники АВС и А1В1С1 равны по равенству гипотенузы и острому углу (третий признак).
Что и требовалось доказать.