Розв’язування прямокутних трикутників

1. Укажіть гострий кут, синус і косинус якого дорівнюють один одному.

А45°
Б30°
В 60°
Г Такого кута

2.Укажить неправильну рівність
Аsin43°=cos47°
Б tg60°=1
В cos60°=√3/2
Г sin60°=√3/2

3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 і 12. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника.

А 17
Б√119
В √17
Г 13

4. Знайдіть значення виразу 〖sin〗^2 45°+sin⁡30.

А 1/2+√3/2
Б 1
В 1/√2+1/2
Г 0

5. Знайдіть косинус більшого гострого кута прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 6 і 8.

А 0,6
Б 0,8
В 3/4
Г 4/3​

1) Пусть a и b - два данных вектора. Если вектор р представлен в виде p=xa+yb, где х и у -некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам a и b. Числа х и у называются коэффициентами разложения.

2) Отложим от точки О два единичных вектора, направление которых совпадает с направлениями координатных осей. Эти векторы обозначаются i и j и называются координатными векторами. Так как координатные вектора не коллинеарны, то любой вектор р можно представить в виде p=xi+yj. Числа х и у называются координатами вектора в данной системе координат.
Для координат векторов справедливы следующие свойства:
1. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат.
2. Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
4. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
1. Пусть АМ = х, тогда СМ = 3 - х.
(3 - x) : x = 3 : 2
6 - 2x = 3x
5x = 6
x = 1,2
AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см

2. Так как MN < NK, то MP < PK.
Пусть МР = х, тогда РК = х + 0,5
4 : x = 5 : (x + 0,5)
5x = 4x + 2
x = 2
МР =2 см, РК = 2,5 см

3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 см
Пусть DE = x, тогда ЕР = 14 - х
x : 3 = (14 - x) : 4
4x = 42 - 3x
7x = 42
x = 6
DE = 6 см, ЕР = 8 см

4. Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3.
x : 2 = (x + 3) : 3
3x = 2x + 6
x = 6
АВ = 6 см, ВС = 9 см

6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE.
DF - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника.
CD + DE = Pcde - CE = 55 - 20 = 35 см
Пусть CD = х, тогда DE = 35 - х
x : 8 = (35 - x) : 12
12x = 280 - 8x
20x = 280
x = 14
CD = 14 см, DE = 21 см

7. ΔАВС, ∠С = 90°, АМ - биссектриса.
Пусть АС = х, тогда по теореме Пифагора АВ = √(х² + 81).
x : 4 = √(х² + 81) : 5
5x = 4√(х² + 81)
25x² = 16x² + 81 · 16
9x² = 81 · 16
x² = 9 · 16
x = 3 · 4 = 12
АС = 12 см
Sabc = AC · CB / 2 = 12 · 9 = 54 см²

8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО - биссектриса треугольника.
а : 40 = b : 30
b = 30a / 40 = 3a/4
По теореме Пифагора:
70² = a² + 9a²/16
25a²/16 = 4900
a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16
a = 14 · 4 = 56
CB = 56 см
АС = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 см
Sabc = CB · AC / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см²

9. ΔАВС: ∠В = 60°, ∠С = 40°, ⇒ ∠А = 80°.
О - точка пересечения биссектрис.
∠ОАС + ∠ОСА = (∠А + ∠С)/2 = (80° + 40°)/2 = 60°
Из ΔОАС ∠АОС = 180° - (∠ОАС + ∠ОСА) = 180° - 60° = 120°

10. ΔАВС с прямым углом С, СМ - биссектриса.
АС = АВ/2 = 2 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
По теореме Пифагора
ВС = √(АВ² - АС²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см
Пусть АМ = х, тогда МВ = 4 - х.
x : 2 = (4 - x) : (2√3)
2√3x = 8 - 2x
2x(√3 + 1) = 8
x = 4 / (√3 + 1) = 4(√3 - 1) / (3 - 1) = 2(√3 - 1)
AM = 2(√3 - 1) см
МВ = 4 - (2√3 - 2) = 6 - 2√3 = 2√3(√3 - 1) см

11. ΔАВС: ∠С = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°, тогда
АВ = 2АС = 2√3 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
По теореме Пифагора:
ВС = √(АВ² - АС²) = √(12 - 3) = √9 = 3 см
СМ - биссектриса.
Пусть АМ = х, МВ = 2√3 - х.
x : √3 = (2√3 - x) : 3
3x = 6 - √3x
x(3 + √3) = 6
x = 6 / (3 + √3) = 6(3 - √3) /(9 - 3) = 3 - √3 = √3(√3 - 1)
AM = √3(√3 - 1) см
МВ = 2√3 - 3 + √3 = 3√3 - 3 = 3(√3 - 1) см