Достроим трапецию до равнобедренного треугольника.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса к основанию является высотой и медианой.
Окружность касается оснований в серединах.
BL=CL, AN=DN
Отрезки касательных из одной точки равны.
BK=BL=CL=CM =a
AK=AN=DN=DM =b
По теореме о пропорциональных отрезках KM||BC||AD
△KAP~△BAC, KP/BC=AK/AB => KP/2a =b/(a+b)
△PCM~△ACD, PM/AD=CM/CD => PM/2b =a/(a+b)
KP=PM =2ab/(a+b)
LN - высота => LN⊥KM
S(KLMN) =1/2 KM*LN *sin90 =2ab/(a+b) *LN
S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*LN =(a+b) *LN
S(ABCD)/S(KLMN) =(a+b)^2/2ab =8/3 =>
(a^2 +b^2 +2ab)/2ab =8/3 =>
a/2b +b/2a +1 =8/3 =>
a/b +b/a =2(8/3 -1) =10/3
a/b =x
x +1/x =10/3 =>
x^2 -10/3 x +1 =0 => x = {1/3; 3}
ответ: основания относятся 1:3
S=8*10*sin 60=80*sqrt(3)/2=40sqrt(3)
sqrt(3) корень квадратный
2.)S параллелограмма = 2S треугольника = 2 * 1/2 * a * b * sin a = 8 * 6 * sin 45 = 48 * √2/2 = 24√2
3.)Пусть АВСD - данная трапеция, AB=6, AD=2*корень(3), угол АВС=120 градусов,
проведем высоту ВК
тогда угол KBC=120-90=30 градусов
угол С=90-30=60 градусов
BK=AD=2*корень(3)
DK=AB=6
по соотношениям в прямоугольном треугольнике
BK/CK=tg C
СК=BK/ tg C
CK=2*корень(3)/tg 60=2*корень(3)/корень(3)=2
CD=CK+DK=6+2=8
Площадь трапеции равна произведению ее высоту на полусумму ее оснований
S=(AB+CD)/2 *AD
S=(6+8)/2*2*корень(3)=14*корень(3)
4.)роведём высоту из верхнего угла на нижнее основание - в точку К
Оба нижних угла будут = 180 - 150 = 30 гр Тангенс 30 = 1/корень из 3
