На діагоналі АС прямокутника ABCD вибрано точку М так, що відстані від неї до сторін AD, AB та до вершини С дорівнюють 9 см, 12 см та 45 см відповідно. Знайдіть периметр заданого прямокутника

* * * пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике * *
h² =a₁*b₁,где a₁ и b₁ проекции катетов a и b на гипотенузе(отрезки разд.  высотой)  || Пусть a₁ =9 см ; b₁= (h+4) см || .
h² =9(h+4) ;
h² -9h  -36 =0 ;
[h= -3 ( не решения ) ; h =12 (см) .
b₁ =h+4 = 12+4 =16 (см).
Гипотенуза c = a₁+b₁ = 9 см+ 16 см  =25 см .

a =√(a₁²+ h²) =  √(9²+ 12²)  =15 (см) .  || 3*3; 3*4 ; 3*5 || 
или из a² =c*a₁=25*9⇒ a=5*3 =15  (см) .
b = (b₁²+ h²) = √(16²+ 12²) = 20 (см) .  || 4*3; 4*4 ; 4*5 ||
или из b² =c*b₁=25*16 ⇒ b=5*4 =20 (см) .

ответ: 15 см, 20  см, 25 см . || 5*3; 5*4 ; 5*5 |

Грань АА1С1С - квадрат. 

АС по т.Пифагора равна 20. В призме все боковые ребра равны. ⇒ ВВ1=СС1=АА1=АС=20.

По условию боковые ребра пирамиды АВ1СВ равны, значит, их проекции равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около основания АВС. ⇒

Вершина пирамиды В1 проецируется в центр Н описанной около прямоугольного треугольника окружности, т.е. лежит в середине гипотенузы. 

∆ АВС прямоугольный, R=АС/2=10. 

АН=СН=ВН=10. 

Высота призмы совпадает с высотой В1Н пирамиды.

По т.Пифагора 

В1Н=√(BB1²-BH²)=√(20²-10²)=√300=10√3

Формула объёма призмы

 V=S•h где S - площадь основания, h - высота призмы. 

S-12•16:2=96 (ед. площади)

V=96•10√3=960√3 ед. объёма.