Для любого выпуклого четырехугольника отрезки, соединяющие середины смежных сторон этого четырехугольника, образуют параллелограмм. Для этого проведем одну из диагоналей: она разбивает четырехугольник на два треугольника, средние линии которых равны и параллельны, (как средние линии параллельные основанию, равные половине диагонали), и эти две средние линии являются противоположными сторонами искомого параллелограмма. Для второй диагонали - проделываем то же самое. В итоге, в равнобедренной трапеции диагонали равны, а значит равны и все стороны искомого параллелограмма, который поэтому и является ромбом.
Я это понимаю так: На отрезках АМ и МВ, как на сторонах, построены квадраты АМСД и МВЕF... Далее то тексту.
В прямоугольных треугольниках АМF и СМВ катеты FМ=МВ и АМ=СМ, значит тр-ки равны. ∠МСВ=∠FАМ. В тр-ке СМВ ∠МСВ+∠СВМ=90°, значит ∠NАВ+∠NВА=90°, значит тр-ник АNВ - прямоугольный. Треугольники АNВ и МСВ подобны по трём углам, значит NВ/МВ=АN/СМ, но СМ=АМ ⇒ NВ/МВ=АN/АМ. В тр-ке АNВ это тождество соответствует утверждению теоремы биссектрис, значит NМ - биссектриса тр-ка АNВ. Во вписанном в окружность прямоугольном треугольнике АNВ АВ - диаметр, биссектриса АМ пересекает окружность в точке S, причём ∩AS=∩BS, так как на них опираются равные вписанные углы ANS и BNS. Таким образом, точка S - середина дуги АВ. Это будет работать всегда, при любом положении точки М на отрезке АВ. Т.к. АВ - всегда диаметр одинаковой окружности, все прямые MN проходят через точку S. Доказано.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
