В трапеции ABCD AD и BC, BC = 1, AB = 25, 2BAD = 30 °, 2CDA = 45 °. Найдите область ABCD.​

Даны координаты вершин ромба ABCD: A(1;-2;7), C(4;5;7), D(-1;3;6).

1) Находим координаты точки О - центра ромба и середины диагоналей.
Середина АС: О((1+4)/2=2,5; (-2+5)/2=1,5; (7+7)/2=7) = (2,5; 1,5; 7).
Вершина В симметрична точке Д относительно точки О.
Хв = 2Хо - Хд = 2*2,5 - (-1) = 5 + 1 = 6.
Ув = 2Уо - Уд = 2*1,5 - 3 = 3 - 3 = 0.
Zв = 2Zо - Zд = 2*7 - 6 = 14 - 6 = 8.
Координаты вершины В (6; 0; 8).
Длина диагонали BD = √((-1-6)²+(3-0)²+(6-8)²) = √(49+9+4) =√62 ≈  7,874008.

2) найти длину вектора 2AB-3BC.
Вектор АВ: (5; 2; 1),      2АВ: (10; 4; 2),
Вектор ВС: ( -2; 5; -1),  3ВС: (-6; 15; -3),
Вектор                  2AB-3BC: (16; -11; 5).
Длина его L = √(16²+(-11)²+5²) =  √(256 + 121 + 25) = √402 ≈  20,04994 .

3) определить, какие из внутренних углов ромба тупые.
Определим угол между найденными векторами АВ (5;2;1) и ВС ( -2; 5; -1):
Косинус угла отрицателен, значит угол между векторами АВ и ВС  (это угол А) и противолежащий ему угол С тупые.

4) 

ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Условия задачи:

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14,2 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7,1 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7,1 см ,  гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14,2 = 7,1 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °