Найдите треугольника ABC, если 1. Определи вид треугольника
2.Укажите самую длинную сторону стреугольника

АВС - правильный треугольник со стороной а. АО - радиус описанной окружности. R=АО=а√3/3.
 ∠АОВ=∠ВОС=АОС=360/3=120°.
Так как точка М - середина дуги АВ, то ∠АОМ=∠АОВ/2=60°. Соответственно ∠АОN=60°, а ∠MON=120°.
Большая дуга MN равна 360-∠MON=360-120=240°.
Вписанный угол MAN опирается на дугу MN и равен её половине. ∠MAN=∩MN/2=240/2=120°.
Треугольники AMN и OMN равны, т.к. оба равнобедренные, у них общее основание и углы при вершинах равны, значит углы при основании тоже равны. Соответственно ΔOMN=ΔOBC, значит MN=BC=a.
В четырёхугольнике AMON стороны равны, значит он ромб, значит АР=РО. АР=R/2=а√3/6.
В правильном треугольнике АЕН АР - высота. Для правильного тр-ка h=a√3/2 (здесь а другая, только для формулы) ⇒ а=2h/√3.
ЕН=2·АР/√3=2·а√3/(6√3)=а/3 (здесь а - сторона тр-ка АВС. а=АВ).
MN=a, ЕН =а/3.
Исходя из симметрии построенного чертежа, ΔAMP=ΔANP, значит МЕ=NН.
МЕ=NН=(MN-ЕН)/2=(а-а/3)/2=а/3.
МЕ=ЕН=NН=а/3.
Доказано.

Правильное условие задания:

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и 2√3 см, а один из углов основания равен 30 °. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, который проходит через меньшую диагональ основания, равен 8 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

В ΔABD применим теорему косинусов:

BD² = AB² + AD² - 2•AB•AD•cos∠BAD

BD² = 2² + (2√3)² - 2•2•2√3•cos30° = 4 + 12 - 8√3•(√3/2) = 16 - 12 = 4

BD² = 4   ⇒   BD = 2 см

Площадь диагонального сечения:  S (bb₁d₁d) = 8 см²

BB₁D₁D - прямоугольник  ⇒  S = BD • B₁B = 2 • B₁B = 8  ⇒  B₁B = 4 см

Площадь полной поверхности параллелепипеда:

S (полн.) = 2•S (осн.) + S (бок.) = 2 • S (осн.) + P (осн.) • H = 2•(AB•AD•sin30°) + 2•(AB + AD)•B₁B = 2•(2•2√3•sin30°) + 2•(2 + 2√3)•4 = 4√3 + 16 + 16√3 = 20√3 + 16  cм²

ответ: 20√3 + 16  см²