В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[⇨]), метод площадей[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры.[10] В нём для треугольника ABC с прямым углом при вершине C со сторонамиa,b,c, противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота при этом согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения.
При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства:
покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат.
(хз надеюсь правильно)
Присвоим точкам обозначения: A, B, C.
На трех точках A, B, C, не принадлежащих одной прямой, можно построить только одну плоскость .
Отрезки, которые соединяют точки, имеют по две точки, которые принадлежат одной плоскости: АВ, ВС, СА.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все остальные точки на этой прямой принадлежат плоскости. Следовательно, любая точка на отрезках АВ, ВС, СА принадлежит плоскости.
Любая прямая, пересекающая два отрезка на плоскости, имеет с ними две точки пересечения, которые принадлежат плоскости. Следовательно, и все остальные точки любой прямой, пересекающей два отрезка, лежат в плоскости точек А, В, С.
