Основание АВ трапеции ABCD равно диагонали и образует угол 60о. Найдите площадь треугольника АВС и трапеции, если АВ – CD = 8 см, АВ = 12 см. (8) ​

Данное решение для первой четверти. Для остальных четвертей решение аналогичное

AB = 5√2;   OA = OB  - по условию
ΔOAB - прямоугольный равнобедренный
Теорема Пифагора
OA² + OB² = AB²   ⇒    2OA² = AB²
2OA² = (5√2)²
2OA² = 50   ⇒   OA² = 25    ⇒     OA = OB = 5
Координаты точек  А (0; 5),  В (5; 0)
Уравнение прямой y = kx+b
Для точки А:   5 = k*0 + b;    b = 5
Для точки В:   0 = k*5 + b;   5k = -b;     k = -b/5;
k = -5/5 = -1

Уравнение прямой для первой четверти  y = -x + 5
Уравнение прямой для второй четверти  y = x + 5
Уравнение прямой для третьей четверти  y = -x - 5
Уравнение прямой для четвертой четверти  y = x - 5

1.
Радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒  r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π)  < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 1 : 2  ⇒BE = k₂ , EC  =  2k₂  ;  BC=3k₂.
CF : FA   =  1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA  =  2k₃  ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 2 : 1  ⇒BE = 2k₂ , EC  =  k₂  ;  BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда  точка касания  F середина  AC.