На стороне BC треугольника ABC отмечены точки P и Q такие, что BP=PQ=QC. К стороне BC в точке P восстановлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Оказалось, что площадь треугольника AQK в 4,5 раза меньше площади треугольника ABC. Докажите, что AB=AC.

1)Т.к. диагональ BD вдвое больше стороны АВ, следовательно АВ=ВО=OD, следовательно треугольник АВО равнобедренный

2)угол АОD=112 градусов, по условию, тогда угол ВОА=180-АОD=180-112=68градусов(по свойству смежного угла)

3)т.к. треугольник АВО- равнобедренный, следовательно углы при основании равны, тогда угол ВАО=ВОА=68градусов

4)угол CAD= 40градусов по условию, тогда угол BAD=BAO+CAD=68+40=108 градусов

5)угол CDA=180-BAD=180-108=72градуса(по свойству односторонних углов в параллелограмме)

ответ:4(72градуса)

Лично я бы доказывал это так. Вокруг треугольника можно описать окружность. В ней все углы - это вписанные углы. Каждая из сторон соответствует хорде. Большей хорде соответствует (в этой окружности) большая дуга - это очень легко доказать поворотом вокруг центра.
(Надо так повернуть одну из хорд вокруг центра окружности, чтобы две хорды стали параллельны. И сразу видно, что большая хорда стягивает большую дугу)
Поэтому угол треугольника, лежащий напротив большей стороны опирается на большую дугу.  Остается вспомнить, как связаны вписанный угол и дуга, на которую он опирается.