Периметр прямоугольного треугольника равен 42✓3. Найдите длину окружности вписанной в него
​

ABCS-прав пирамида АВ=ВС=СА=12см AS=BS=CS=10cm

1)  высоту пирамиды

проведем СМ и АН- высоту( медиану, биссектрису) О- ортоцентр АВС

АО=СО=2ОН- по св-ву медиан

рассмотрим тр-к НАС-прямоугольный АС=12смСН=6см, из тПифагора найдем АН=sqrt(AC^2-CH^2) AH=6sqrt3 ( 6 корней из3)=>  СО=АО=4sqrt3cm

рассмотрим тр-к SOC-прямоугольный  СО=4sqrt3cm  SC=10cm    из тПифагора найдем SO=sqrt ( SC^2- OC^2)  SO=sqrt (100-48)= 2sqrt13cm

 2. Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды

из треугольника SOC-прямоугольного cosC= OC /SC = 4sqrt3 /10 =2/5sqrt3 C~46*

3. Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды

проведем SH- апофему, угSHO- линейный угол двугранного АСВS (CB) 

рассмотрим SHO-прямоугольный SOH=90* SO=2sqrt13cm OH=2sqrt3 (по св-ву медиан)

tgH=SO/OH= 2sqrt13 / 2sqrt 3=sqrt (13/3)  угН~60*

4. Площадь боковой поверхности

Sбок= 3 S (SBC) 

S (BSC)=1/2 BC*SH   SH=sqrt(10^2-6^2)=4sqrt3cm

S(BSC)=1/2*12*4sqrt3=24sqrt3cm^2

Sбок= 3 * 24sqrt3=72sqrt3

Все грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, значит апофемы граней равны, а вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание пирамиды окружности. Апофема находится по Пифагору из прямоугольного тр-ка, в котором она является гипотенузой, а катетом, лежащим против угла 30°, является радиус вписанной в основание (прямоугольный треугольник) окружности. Формула радиуса: r=(a+b-c)/2. Найдем гипотенузу основания с по Пифагору: с= √(36+9) = √45 =3√5. Вычислим по формуле радиус r = (9-3√5)/2. Тогда апофема (из приведенного выше) равна: h = (9-3√5). Площадь боковой поверхности S= (1/2)*h*P, где h - апофема, а Р - периметр основания.
S=[(9-3√5)*(9+3√5)]/2.
Или S=(81-45)/2= 18см².