Пусть А - длина ребра большой пирамиды. Тогда полупериметр основания:
р = 3А/2
Площадь основания большой пирамиды:
S = √[p(p-a)³] = √[3А/2 · (А/2)³] = (А²√3)/4.
Высота большой пирамиды
Н = √(А² - А²/3) = А√(2/3)
Основание малой пирамиды образует плоскость, параллельную основанию большой пирамиды, т.к. вершины треугольника находятся на одном уровне от основания большой пирамиды, на высоте h, равной половине высоты Н большой пирамиды:
h =1/2 · А√(2/3) = A/√6
Рассечём большую пирамиду по плоскости основания маленькой пирамиды. Получим правильный треугольник с основанием, равным В = 0,5А. Сторона а основания малой пирамиды будет стороной правильного треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон В. Поэтому сторона а = 0,5·0,5А = А/4
Площадь основания малой пирамиды (по аналогии с S = (А²√3)/4 )равна
s = (a²√3)/4 = A²√3)/(4·16) = A²√3)/64
Требуется найти 3v = s·h
3v = A²√3)/64 · A/√6 = A³/(64√2)
Подставим А = 3√2
3v = (3³·2√2)/(64√2) = 27/32
ответ: 3v = 27/32
