Діагональ бічної грані даної приaми дорівнює 23 см і утворює а площиною основи кут 60 Знайдіть:
Ребро основи. та Бічне ребро​

 Сторону основания этой пирамиды найдем из ее объема. 
Объем пирамиды находят по формуле  
V=Sh:3 
Площадь основания данной пирамиды - площадь правильного  шестиугольника- состоит из суммы площадей шести правильных  треугольников.  
Пусть сторона каждого из них равна а. 
Площадь правильного шестиугольника  
S = pr = 3a²√3/2,  где p − полупериметр шестиугольникa, a r- радиус вписанной в  него окружности, или, иначе - апофема правильного  шестиугольника (т.е. высота  одного из правильных  треугольников, составляющих этот шестиугольник). 
Так как боковая грань  и основание пирамиды образуют угол  45°, высота пирамиды равна апофеме шестиугольника в  основании пирамиды.  
Напомню, что апофемой правильного шестиугольника называют  перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне.  (В задачах редко встречается, но такое название есть). 
Высота пирамиды и апофема основаниия здесь - катеты  равнобедренного прямоугольного треугольника 
m = h= a√3/2  
Следовательно,   
V={3a²√3):2}·{a√3):2}:3=9a³:12=3a³:4 
162=3a³:4 
 а³=162·4:3=216 
а= ∛216=6 

Если ДК=КЕ, то треугольник равнобедренный. К - вершина равнобедренного треугольника. А высота или медиана угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой. Если угол ДКС равен 40, то КС как биссектриса делит угол К пополам. Значит, угол ДКЕ равен 40*2 = 80.

Сумма двух сторон треугольника всегда больше  третьей стороны. Значит, 3 см не может быть боковой стороной. Иначе 3+3 меньше 7. Значит, боковая сторона равна 7. Основание 3 см. Периметр треугольника равен 7+7+3=17 см.