1. Пряма AB дотикається до кола з центром Ов точці А. Знайдіть: а) кут ОВА, ЯКЩо - AOB = 209,
б) радіус кола, якщо – АОВ = 45°, AB = 8 см.

2. Через точку кола проведено дотичну й хорду, яка
дорівнює радіусу кола. Знайдіть кут між ними.

3. На рисунку 2 - BOC = 150°. Знайдіть кут ВАС.
Puc. 2​

В треуг.АВС проведем медианы( они же высоты) АК,СD,ВР
Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота
АК делит сторону ВС пополам.
ВС=ВК+КС
ВК=КС=3:2=1,5 - катет
АС=3 - гипотенуза
Находим катет АК (теор.Пифагора):
АК2=АС2 - КС2
АК2=3*3 - 1,5*1,5
АК=корень из 6,75
АК=2,598
Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1
АО+ОК=3(части) - составляют 2,598
АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732
Рассмотрим треуг.АОМ
ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный
АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС
Находим АМ(теор.Пифагора):
АМ2=АО2+ОМ2
Ом=1;АО=1,732;
АМ2=1*1+1,732*1,732
АМ=корень из 4
АМ=2
Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому

1. XY = 1,5 ед.

2. а)  XY = 3 ед.  б)  XY = 0.

Объяснение:

1. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно

d = p - c, где  р - полупериметр, а "с" - сторона, противоположная вершине.

В нашем случае:

В треугольнике ABD полупериметр  

р = (АВ+ВD+AD)/2 = (14+BD)/2  =>

BX = p - AD = p - 9.  DX = p - AB = p - 5.  =>  

DX -BX = 4. (1)

В треугольнике BCD полупериметр  

р = (BC+CD+BD)/2 = (15+BD)/2  =>

BY = p - CD = p - 8.  DY = p - BC = p - 7.  =>  

DY -BY = 1. (2)

Тогда (1) - (2) = (DX-DY) + (BY-BX) = 3.

Но (DX-DY) = (BY-BX) = XY. Значит 2·XY = 3  =>  

XY = 1,5 ед.

2. a) Для треугольника АВD:  AB = 10 ед, BD = 4,5 ед.

В треугольнике ABD полупериметр  

р = (АВ+ВD+AD)/2  =>

AX = p - BD = p - 4,5.  DX = p - AB = p - 10.  =>  

AX -DX = 5,5. (1)

Для треугольника АCD:  AC = 16 ед,  CD = 4,5 ед.

В треугольнике ACD полупериметр   =>  

р = (АC+CD+AD)/2  =>

AY = p - CD = p -4,5.  DY = p - AC = p - 16.  =>  

AY -DY = 11,5. (2)

Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 6.

Но (AY-AX) = (DX-DY) = XY. Значит 2·XY = 6  =>  

XY = 3 ед.

б) Для треугольника АВС полупериметр  

р = (АВ+ВC+AC)/2 = 35/2 = 17,5  =>

BD = p - AC = 17,5 - 16 = 1,5.  CD = 17,5 - 10 =7,5.  Тогда

В треугольнике ABD =>

AX = p - BD = p -1,5.  DX = p - AB = p - 10.  =>  

AX -DX = 8,5. (1)

В треугольнике ACD =>

AY = p - CD = p -7,5.  DY = p - AC = p - 16.  =>  

AY -DY = 8,5. (2)

Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 0.   =>

XY = 0 ед.