Площина паралельна стороні АВ трикутника АВС і перетинає сторони АС і ВС в точках К і Т, причому ВК=КС. Доведіть, що КТ || АВ і знайдіть довжину
сторони АВ, якщо КТ = 9 см, АС = 24 см, КС = 12 см

Углы при основании 72°. То есть биссектриса "отрезает" от треугольника равнобедренный треугольник, углы при основании которого равны 36°. 
Далее, внешний угол при вершине ЭТОГО (отрезанного) треугольника равен 2*36° = 72°, то есть второй треугольник тоже равнобедренный. То есть биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных треугольника. 
Если обозначить длину биссектрисы L, основание a, боковую сторону b, и отрезок от вершины (противоположной основанию) до конца биссектрисы x, то получается
x = L = a; (одна из сторон уже найдена, основание a = L = √20)
По свойству биссектрисы 
b/a = x/(b - x); то есть b/a = a/(b - a); или (b/a - 1)*(b/a) = 1;
(b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; 
b/a = (√5 + 1)/2; 
если подставить a = 2√5; получится
b = 5 + √5;

Углы при основании равны по 45°, угол при вершине 90°

Объяснение:

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен х, тогда внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 3х.

Эти углы смежные, их сумма равна 180°.

х + 3х = 180°

4х = 180°

х = 45° - угол при основании

3х = 3 · 45° = 135° внешний угол при основании

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 135°, один из не смежных с ним углов при основании равен 45°, тогда угол при вершине равен

135° - 45° = 90°.