сзаданием Длины сторон треугольника АВС соответственно равны: ВС = 15 см, АВ = 13 см, АС = 4 см. Через сторону АС проведена плоскость α, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 300. Найдите расстояние от вершиныВ до плоскости α.
И начертите схему треугольника

Если гипотенуза АВ параллельна оси Ох, то точки А и В - противоположные.
A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1
Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1
|AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2
|BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2
По теореме Пифагора
|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2
(x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2
x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0
2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0
x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0
 (y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2
Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2
(x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2
Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1.
(x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1
Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит, 
y1 - y2 = 1
Но разность ординат - это и есть высота треугольника.

Дано:
верхнее основание трапеции ВС = 12
левая боковая сторона АВ = 36
Правая боковая сторона СД = 39
ДМ - биссектириса и АМ = ВМ = 18
Найти: Sтрап
Решение:
Дополнительное построение: через точку М, середину стороны АВ проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции МК: СК = КД = 19,5
В ΔМКД  угол КМД = углу МДА (накрест лежащие при параллельных МК и АД и секущей МД). Но угол МДА = углу КДМ, т.к. МД - биссектриса.
Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.
Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД
МК = (СД + АД)/2
19,5 = (12 + АД)/2
АД = 27
Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.
Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х
Из ΔСНД выразим высоту СН=h
СН² = CД² - ДН²  или h² = 39² - х²
Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h
ВЕ² = АВ² - АЕ² или Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.
Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД
МК = (СД + АД)/2
19,5 = (12 + АД)/2
АД = 27
Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.
Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х
Из ΔСНД выразим высоту СН = h
СН² = CД² - ДН²  или h² = 39² - х²
Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h
ВЕ² = АВ² - АЕ²  или h² = 36² - (15 - х)²
Приравняем квадраты высот
39² - х² = 36² - (15 - х)²
1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х²
30х = 450
х = 15
Итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равна
h = √(1521 - 225) = √1296 = 36
Площадь трапеции S = МК·h = 19.5 · 36 = 702