При каких условиях можно утверждать, что точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности? Четвёрки точек (A,C,D,E), (B,C,D,E), (C,D,E,F) лежат на одной окружности

Четвёрки точек (A,C,D,E), (B,C,D,E), (C,D,E,F) лежат на одной окружности и ABCDEF — выпуклый шестиугольник

Четвёрки точек (A,B,C,D), (C,D,E,F), (A,B,E,F) лежат на одной окружности

Четвёрки точек (A,B,C,D), (C,D,E,F), (A,B,E,F) лежат на одной окружности и ABCDEF — выпуклый шестиугольник

Четвёрки точек (A,B,C,D), (B,C,D,E), (A,C,D,E) лежат на одной окружности

Четвёрки точек (A,B,C,D), (B,C,D,E), (A,C,D,E) лежат на одной окружности и ABCDEF — выпуклый шестиугольник

Нарисуй чертеж
ВМ=МС=а
AN=ND=b  (это обозничили мы так)
треугольники APN и MPB подобны с коэффициентом  b/a,и высоты тоже

треуг. NQD и CQM подобны с тем же коэфф  b/a  и высоты тоже.
но если у треуг. APN  и  NQD  AN=ND, то и высоты равны. Т.е. точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от AD
что и требовалось доказать.

если по поводу высот , что они равны , непонятка, то это следует из того, что отношения высот малого и большого треуг. равно одному и тому же коэффициенту, а сумма этих высот постоянна (высота трапеции)

ΔАВС- равнобедренный.Пусть  АВ=ВС =а. ВЕ⊥ АС=10 см, DC⊥АВ=12 см. Найти R окр.,описанной около Δ СDB.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC   ⇒  S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB                S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC                 S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC  (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC      ⇒ 5AC=6BC  (3)
Из  Δ ВЕС  найдём  ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100     АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство :  5 АС=6 ВС и  АС=2х   ⇒
5·2√а²-100 = 6а  ⇒  100·(а²-100)=36 а²  ⇒  64 а²=10000  
а²=10000 / 64   ⇒  а=100 / 8    R = 1/2 a   =  50/8 = 25 / 4