Около правильного многоугольника, со стороной 8см, описана окружность, радиус которой 4√2 см. Найдите число сторон этого многоугольника и радиус вписанной в него окружности.

ответ: n=4, r=4 см.

Объяснение:

Пусть a=8 см - длина стороны многоугольника, R=4*√2 - радиус описанной окружности, n - число сторон. Так как R=a/[2*sin(180°/n), то отсюда 2*sin(180°/n)=a/R=√2 и sin(180°/n)=√2/2. Тогда 180°/n=arcsin(√2/2)=45° и n=180/45=4. Значит, данный многоугольник есть квадрат, а радиус r вписанной в него окружности равен половине стороны квадрата: r=a/2=4 см.