В треугольнике ΔCDE ÐС = 50°, ÐD = 65°. Через вершину D проведена прямая DF так, что луч DE – биссектриса угла ÐCDF. Докажите, что прямые СЕ и DF параллельны

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

 Прямая АВ лежит в плоскости АВС, а прямая с эту плоскость пересекает в точке С, не принадлежащей прямой АВ. 

Прямая с и прямая АВ - скрещивающиеся. 

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется  длиной их общего перпендикуляра. 

Проведем СН⊥АВ. 

Прямая с перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.⇒ с⊥СН

Длина СН - искомое расстояние. 

СН⊥АВ и является высотой ∆ АВС. 

Из площади прямоугольного треугольника 

S=0,5•AC•СB

S=0,5•CH•AB⇒

СН=АС•ВС:АВ

По т.Пифагора АВ= √(AC*+BC*)=√(9+16)=5 дм

СН= 3•4:5=2,4 дм