Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС цього трикутника в точці А1, а сторону ВС - в точці
В1. Знайдіть довжину відрізка А1В1, якщо: АА1 = 13 см, АВ = 14 см, А1С = 8
см

1) Биссектриса угла прямоугольника делит угол в 90° пополам, то есть по 45°. Поэтому она отсекает на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника как 3х и 4х.
Сумма двух сторон равна половине периметра, то есть:
 3х+4х = 42/2 = 21 см.
7х = 21 см.
х = 21/7 = 3 см.
ответ: меньшая сторона равна 3х = 3*3 = 9 см.

2) Обозначим острый угол параллелограмма α.
Тупой угол равен 180-α, половина его равна (180-α)/2 = 90-(α/2).
Угол между боковой стороной и высотой равен 90-α.
По заданию угол в 20° равен (90-(α/2)) - (90-α) = α - (α/2) = α/2.
ответ: α = 2*20 = 40°.

За заголовок следующей публикации автора ждет бан. Но пока его не удалили, я коротенько напишу тут решеньице.
пусть сторона a лежит напротив угла α, сторона b - напротив угла β, и c - напротив γ; Если записать площадь по известной формулке
S = a*b*sin(γ)/2;
(которая получается из S = a*h/2; подстановкой h = b*sin(γ);)
три раза, используя все пары сторон, и выразить произведения сторон через известные, то
a*b = 2*S/sin(γ);
b*c = 2*S/sin(α);
a*c = 2*S/sin(β);
из первых двух выражений получается a/c = sin(α)/sin(γ);
(то есть по ходу решения доказана теорема синусов :)))
умножая это на третье равенство, я получаю
a^2 = 2*S*sin(α)/(sin(β)*sin(γ));
то есть найдена сторона a; высота к этой стороне равна h = 2*S/a;
h = √(2*S*sin(β)*sin(γ)/sin(α));
циклически переставляя α β γ, легко получить две остальные высоты.
Ясно, что в знаменателе стоит угол, из вершины которого выходит высота.