Доказать, что в трапеции сумма квадратов расстояний от центра вписанной окружности до вершин трапеции равно сумме квадратов боковых сторон.

Трапеция АВСD, AD II BC, AD > BC (ну, или равно, что совсем не интересно, потому что тогда ABCD квадрат). О - центр вписанной окружности. 

ВО и АО - бисектриссы внутренних односторонних углов, поэтому они перпендикулярны. Треугольник АОВ прямоугольный. АВ^2 = AO^2 + BO^2;

Точно так же СD^2 = CO^2 + OD^2; 

Остается сложить.