На стороні ВС трикутника АВС обрано точку К так, що ВК : КС = 2 : 3. У якому відношенні медіана ВМ ділить відрізок АК?

Треугольник АВС равнобедренный, значит BD биссектриса, медиана и высота, т.е. AD = DC и ΔABD прямоугольный, а DE - его высота.

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

BD² = BE · AB

AD² = AE · AB

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда

АЕ = 4х, ВЕ = 9х, а АВ = 13х.

BD = √(9х · 13х) = 3х√13

AD = √(4x · 13x) = 2x√13

AC = 2AD = 4x√13.

Так как BD + AC = 14, то

3x√13 + 4x√13 = 14

7x√13 = 14

x = 2/√13 = 2√13 / 13 см

AB = BC = 13x = 2√13 см

AC = 4x√13 = 4 · 2√13/13 · √13 = 8 см

Pabc = AB + BC + AC = 2AB + AC = 2 · 2√13 + 8 = 4(√13 + 2) см

Площадь трапеции через диагонали  и угол между ними
S = 1/2*d₁*d₂*sin(α)
54 = 1/2*9*12*sin(α)
sin(α) = 54/54 = 1
α = 90°
Диагонали перпендикулярны, и это упрощает дело.
5² = x²+y²
a² = (9-x)²+(12-y)²
Треугольники между диагоналями и верхним и нижним основаниями подобны с коэффициентом подобия k
k = (9-x)/x
k = (12-y)/y
k = a/5
-------
(9-x)/x = (12-y)/y
9/x - 1 = 12/y - 1
3y = 4x
y = 4/3x
5² = x²+y² = x²+(4/3x)² = (9+16)/9*x²
25 = 25/9*x²
9 = x²
x = 3
y = 4/3x = 4/3*3 = 4
a² = (9-x)²+(12-y)² = (9-3)²+(12-4)² = 6²+8² = 100
a = √100 = 10