3. С циркуля и линейки постройте угол, рав-
ный 150°; 30°. нарисуйте
​

Два круга имеют внутреннее прикосновение в точке А, причем меньше круг проходит через центр большей. Докажите, что любая хорда большей круги, которая выходит из точки А, делится меньшим кругом пополам.

Дано:окр С(R=CA) ,окр В (r=ВА) ,СА=2ВА, внутреннее касание в точке А.

Доказать :что любая хорда большего круга, выходящая  из точки А, делится меньшей окружностью пополам.

Доказательство.

Пусть АМ-хорда большей окружности , пересекает меньшую окружность в точке Р. Необходимо доказать , что Р-середина АМ или АМ=2АР.

1)ΔАМС- равнобедренный , т.к СА=СМ=R, значит ∠1=∠3.

2) ΔАРВ-равнобедренный , т.к ВА=ВР=r, значит ∠2=∠3.

ΔАМС подобен ΔАРВ по двум углам : ∠1= ∠2 , ∠3-общий . В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны :

СА:ВА=АМ:АР  или 2ВА:ВА=АМ:АР  или 2:1=АМ:АР , АМ=2АР , значит Р-середина.

Объяснение:

Диагональ делит трапецию на два треугольника со средними линиями. В треугольнике средняя линия равна половине параллельной стороны.
Задача 10. Больший из отрезков - половина от 10, т.е. 5.
Задача 11.Меньший из отрезков - половина от 12, т.е. 6.
Задача 12. Средняя линия в трапеции  - половина суммы параллельных сторон. Периметр 40, сумма боковых 20, значит сумма параллельных - тоже 20. Средняя линия 10.
 В 13. проведи высоту через точку пересечения диагоналей и рассмотри получившиеся  4 равнобедренных прямоугольных треугольника. Получится сумма оснований в 2 раза больше высоты, т.е. 20. А средняя линия 10.
В 14 проведи две высоты рассмотри два треугольника и прямоугольник. Верхнее основание получится 7, а нижнее 37. Сумма 44, средняя линия 22.
В 15 такое же рассуждение. Верхнее основание получается 111, нижнее 143. (111+143)/2 =127 - средняя линия.
 Вроде все должно быть верно. Самое главное - путь к ответу.