Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.
––––––––––––––––
АН и СН - касательные к окружности.
АВ - секущая, АК - её внешняя часть.
АВ=3, АК=0,5 АВ=1,5
СВ - секущая, СМ - её внешняя часть
СВ=5, СМ=СВ:2=2,5
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. ⇒
АН ²=АВ•AK=3*1,5=4,5=450/100
АН=√4,5=√(450/100)=√(9*25*2:100)=(3•5√2)/10=1,5√2
СН²=СВ•CM=5*2,5=1250/100
CH=√(25•25•2/100)=(25√2)/10=2,5√2
АС=АН+СН=1,5√2+2,5√2=4√2
а) По условию MD перпендикулярна плоскости квадрата,
АD -проекция АМ на плоскость квадрата.
СD - проекция СМ на плоскость квадрата.
По т. о 3-х перпендикулярах МА⊥АВ, и МС⊥СВ.
Углы МАВ и МСВ прямые,⇒ ∆ МАВ и Δ МСВ прямоугольные.
б) В прямоугольном ∆ МDB катет DB равен MD:tg60°=6:√3=2√3
BD- гипотенуза прямоугольного равнобедренного ∆ ABD, его острые углы=45°.
АВ=ВD•sin45°=2√3•√2/2=√6
в) МD перпендикулярна плоскости квадрата по условию.
В ∆ АВD катет АD является проекцией наклонной АМ на плоскость квадрата.
Гипотенуза DB является проекцией МВ на плоскость квадрата.
АВ - общий катет ∆ АМВ и ΔΔ ADB. ⇒ ∆ ABD является проекцией ∆ MAB на плоскость квадрата.
в) В ∆ МАВ по т. о 3-х перпендикулярах наклонная МА⊥АВ,⇒
∆ МАВ прямоугольный.
Ѕ=AM•AB:2
Из ∆ АМD по т.Пифагора АМ=√(MD²²+AD²²)=√(36+6)=√42
S=√42•√6=√(7•6•6)=6√7 см²
