5. У ромбі ABCD: ZB = 150°; АВ= 5см. Знайдіть BD.
а) 5; б) 52 – 5; в) 5 12 13​

В параллелепипеде 6 граней, - по две противоположных, которые попарно равны между собой. Естественно, их диагонали также равны. 
В каждой вершине параллелепипеда сходятся смежные стороны трех граней, и их диагонали образуют треугольник. (см. рисунок вложения) 
В данном случае диагонали равны 30, 40 и 70 см.  
По теореме о неравенстве треугольников: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Здесь имеем "треугольник" и три длины, и 70=30+40.
Тогда меньшие стороны "лягут" на большую, и треугольник не получится, как и параллелепипед с такими диагоналями граней. 
Не могут диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда иметь длины 30 см, 40 см и 70 см. 

1) По теореме Пифагора:

  АВ² = АС² + ВС²

АВ² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

АВ = √289 = 17 см

2) Прямая а и наклонные АВ и АС.

АВ = АС по условию.

В и С - основания наклонных, значит найти надо отрезок ВС.

Пусть АН⊥а, тогда ВН = 16 см - проекция наклонной АВ на прямую а.

ΔАВС равнобедренный, АН - высота и медиана (по свойству равнобедренного треугольника), ⇒

ВС = 2ВН = 2 · 16 = 32 см

3) Доказать: AD + BC < AC + BD

В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон.

ΔAOD:   AD < AO + OD

ΔBOC:   BC < BO + OC

Складываем эти неравенства:

AD + BC < AO + OD + BO + OC, ⇒

AD + BC < AC + BD